反函数

简介

在数学里，反函数为对一个定函数做逆运算的函数。

定义

精确定义为，设为一函数，其定义域为，值域为。如果存在一函数，其定义域和值域分别为 ，并对每一个有： ，则称为的反函数，记之为，读作 inverse 或 的反函数。注意上标“−1”指的并不是负数次幂，-1 次幂是倒数运算。反函数不要念成 的负 1 次方。

若一函数有反函数，此函数便称为可逆的。

存在性

如果一函数有反函数，必须是一双射函数，即：

• 单射：陪域上的每一元素都只被映射至多一次(不然其反函数必将元素映射到超过一个的值上去)
• 满射：陪域上的每一元素都必须被映射到(不然将没有办法对某些元素定义的反函数)

可能有人连陪域是啥也忘了，传送门 (opens new window)

性质

• 原函数的定义域、值域分别是反函数的值域、定义域
• 原函数与其反函数的函数图像关于函数的图像对称
• 严格单调函数一定存在反函数，且反函数与原函数的单调性一致。
• 拥有反函数的函数不一定是严格单调函数，例如

反函数的求法

1. 将原函数 改写为 形式
2. 将 x 与 y 互换

如 移项后改为

再替换和

所以

用途

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