# 指数(幂运算)

# 简介

指数，又称幂运算，表达式为，读作“ 的次方”或“ 的次幂”。其中，称为底数，称为指数，通常指数写成上标，当不能用上标时，例如在 Python 和 JS 中，通常写成 a ** n ，其他地方也有写做 a^n；也可视为超运算，记为a[3]n；亦可以用高德纳箭号表示法，写成。

# 运算法则

同底数幂相乘，底数不变，指数相加：

同底数幂相除，底数不变，指数相减：

同指数幂相除，指数不变，底数相除：

分数次幂

负数次幂

非 0 的 0 次幂

任意数的 1 次幂等于其本身

非 0 的负一次幂等于其倒数

指数运算不满足交换率和结合律

0 的 0 次幂数学上还没有严格定义，但在 Python 和 JS 里，都实现为 0 ** 0 = 1，遵循 IEEE754 标准 (opens new window)

# 指数的极限

$当，$
$当或视奇偶性而定$
(-1, 1)间的数的幂趋于0: $当$
1 的幂永远都是 1： $当$
-1 的幂不具有收敛性
如果 a 左趋近于 1，而它的幂趋于无穷，注意这时候它的极限不是上面几个，而是自然常数

如果 a 右趋近于 1，则它的极限是自然常数的倒数

# Python 执行结果：

from sympy import *
n = symbols('n')
limit(1 ** n, n, oo)

limit(1.1 ** n, n, oo)

limit((1 + 1/n) ** n, n, oo)

limit((1 - 1/n) ** n, n, oo)

# JS 实现

这里先暂时只讲一下当 n 为自然数下的计算方法，至于分数幂和负数幂，先按下不表

const pow = (a, n) => {
  if (!Number.isInteger(n) || n < 0) throw Error
  if (n === 0) return 1
  let ret = a
  for (let i = 1; i <n; ++i) {
    ret *= a
  }
  return ret
}

更有意思的问题，至于乘法怎么实现，加法怎么实现，再往下推要到二进制和处理器实现，由于 JS 暂不支持运算符重载，也不是本 repo 的重点，不再补充

# 其他

复数的幂，以及复数次幂，先不展开，以后再追加