# 方根

# 简介

方根运算是高等数学非常重要的概念，而且容易和对数运算、指数运算混淆

# 定义

如果一个数满足，则叫做的次方根，求 x 的运算记作，读作的次方根。

常见的，当时，称作平方根，一般省略根号上的 2，简写成，当时称作立方根。

平方根：如果一个数的平方等于即,那么这个数叫做的平方根。如 , 。所以都是 4 的平方根

算术平方根：其中大于 0 的那个根，叫做算数平方根，如上，2 是 4 的算术平方根，-2 则不是。特别规定，0 的算术平方根是 0

立方根没有规定算术立方根，因为 a 可以是负数。

另外，负数的方根有虚数解。虚数概念先 TODO。

# 运算法则

# Python 可以求解复数

from sympy import *
sqrt(2)

sqrt(-2)

cbrt(-1)

x = Symbol('x')
solve(x ** 3 + 1, x)

[-1, 1/2 - sqrt(3)*I/2, 1/2 + sqrt(3)*I/2]

-1 的立方根可以看做方程 x ** 3 = -1 的解, 我们用 Python 解这个方程，发现除了 -1, 还有另外两个复数解，可以参考本人的这篇知乎 (opens new window)。

# 证明分数次幂与开方运算等价

求证 $、且$

证：令

两边同乘 n 次方，有

两边同乘次方，有

又∵

∴ 命题得证

其实上面的限定条件可以进一步扩展到整个复数域。

在使用中，数学家更青睐使用分数次幂表示开方运算，加上负数次幂的定义(有兴趣的同学欢迎留言 (opens new window)证明，感谢@songofhawk (opens new window) 的证明)，这使得指数运算扩展到实数域。后来欧拉又将指数运算扩展到无理数和复数域。从此整个幂运算就和开方运算等价起来了。

# JS 实现

由于我的系列还没有讲到导数，甚至连三角函数和斜率都还没有讲。但大部分人在高中有学过一些，这里先不展开，直接给出牛顿公式：

// 求 2 次方程近似解：
const sqrt = (a) => {
  let ret = 1
  const Max = 50
  for (let i = 0; i < Max; i++) {
    ret = (ret + a/ret) / 2
  }
  return ret
}

我们可以看到，迭代次数要随着被开方的数增大而增大。

# 应用

开方运算在统计降维、几何学等领域有非常重要的应用。关于开方运算的讨论，欢迎在这里留言 (opens new window)