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# 线性方程组和矩阵

# 简介

线性方程组可以统一写成矩阵形式 ，这让“消元、求解、结构分析”都变成对矩阵的运算与研究。矩阵提供了一个将多个方程整体处理的语言。

# 矩阵表示

一般线性方程组：

\begin{cases} a_{11}x_1+a_{12}x_2+\cdots+a_{1n}x_n=b_1\\ a_{21}x_1+a_{22}x_2+\cdots+a_{2n}x_n=b_2\\ \vdots\\ a_{m1}x_1+a_{m2}x_2+\cdots+a_{mn}x_n=b_m \end{cases}

记系数矩阵 ，未知量列向量 ，常数列向量 ，则

。

# 增广矩阵

把 与 并排记作增广矩阵：

。

对方程组做初等变换（消元）等价于对增广矩阵做初等行变换。

# 解的类型

对 ：

  • 无解：不相容，增广矩阵出现形如 的行。
  • 唯一解：。
  • 无穷多解：。

其中 是矩阵的秩。

# 同齐次方程组

当 时称为齐次方程组 。

  • 总有平凡解 。
  • 若 ，则存在非零解。

# JS 表示

// A * x = b
const A = [
  [1, 2, -1],
  [2, 1,  1],
  [3, 0,  1]
]
const b = [2, 4, 5]
// 用高斯消元或矩阵库求解