逆矩阵

简介

若方阵 存在矩阵 使得 ，则称 可逆， 为 的逆矩阵。

存在条件

对 阶方阵：

• 可逆 。
• 可逆 。

求逆方法

1. 伴随矩阵法：（适合小规模）。
2. 初等变换法：将 通过行变换化为 。

性质

• （需 可逆）

JS 实现（高斯-约当）

const inverse = (A) => {
  const n = A.length
  const M = A.map((row, i) => row.concat(
    Array.from({ length: n }, (_, j) => (i === j ? 1 : 0))
  ))
  for (let i = 0; i < n; i++) {
    // 选主元（简单起见，找非零行）
    let pivot = i
    for (let r = i; r < n; r++) if (M[r][i] !== 0) { pivot = r; break }
    if (M[pivot][i] === 0) throw new Error('singular matrix')
    ;[M[i], M[pivot]] = [M[pivot], M[i]]
    const div = M[i][i]
    for (let j = 0; j < 2 * n; j++) M[i][j] /= div
    for (let r = 0; r < n; r++) {
      if (r === i) continue
      const factor = M[r][i]
      for (let j = 0; j < 2 * n; j++) M[r][j] -= factor * M[i][j]
    }
  }
  return M.map(row => row.slice(n))
}

应用

• 解方程组 ：（前提 可逆）。
• 线性变换的“逆变换”。