# 绝对值

# 定义

# 实数的绝对值

实数绝对值严格的数学定义：一个数 x，如果 x 为正数,那么，如果x为0,那么.如果 x 为负数，那么。

$\left|a\right|={\begin{cases}a&(a>0)\\0&(a=0)\\-a&(a<0)\end{cases}}$

实数绝对值的平面座标图

# 运算法则

絕對值有以下性質：

若，则
若，
(三角不等式)
若，則，若，則

# 微积分

绝对值函数在处不可导。

${\frac {d}{dx}}|x|={\frac {x}{|x|}}={\begin{cases}1&x>0\\-1&x<0\end{cases}}$

其中 C 是积分常数。$

# 复数的绝对值

暂时不讲， TODO

# Python 实现

# 实数内的函数实现很简单，这里可以看下在复数范围内 Python 下的解（你可以 clone github 并使用工程中的 docker 调试代码）
from sympy import *
a = symbols('a')
print(abs(10))
print(abs(-10))
print(abs(0))

10
10
0

abs(1 + pi*I) # 复数

# JS 实现

const abs = (x) => {
  if (x > 0) return x
  if (x === 0) return 0
  if (x < 0) return -x
}

# 应用

绝对值的概念比较简单，但在计算上比较讨厌，因为遇到绝对值的时候，要开始一个个分支计算，一个绝对值就将分出至少 2 条路，如果式子中有多个，就是指数次的分支增加了。在统计学上，我们会用方差或标准差来绕过讨厌的绝对值，这个之后再讲。