# 矩阵的运算

# 简介

矩阵运算是线性代数的核心，包括加法、数乘、乘法、转置等。它们构成了处理线性变换与线性方程组的基本工具。

# 加法与数乘

同型矩阵：

，。

它们满足交换律、结合律和分配律。

# 矩阵乘法

，时：

，其中

。

注意：一般 不满足交换律，即。

# 单位矩阵与零矩阵

单位矩阵：主对角线为 1，其余为 0。
零矩阵：元素全为 0。

有，。

# 转置

表示转置矩阵：。

性质：，。

# 迹（可选）

方阵的迹。

性质：，。

# JS 实现

const add = (A, B) => A.map((row, i) => row.map((v, j) => v + B[i][j]))
const scale = (k, A) => A.map(row => row.map(v => k * v))
const mul = (A, B) => {
  const m = A.length, n = A[0].length, p = B[0].length
  const C = Array.from({ length: m }, () => Array(p).fill(0))
  for (let i = 0; i < m; i++) {
    for (let k = 0; k < n; k++) {
      for (let j = 0; j < p; j++) {
        C[i][j] += A[i][k] * B[k][j]
      }
    }
  }
  return C
}
const transpose = A => A[0].map((_, j) => A.map(row => row[j]))

# 应用

线性方程组的矩阵表示。
线性变换的复合对应矩阵乘法。