Math

# 矩阵分块法

# 简介

矩阵分块法（block matrix）是把大矩阵按行列切分成若干子块，以便于推导、计算和结构分析。

# 分块表示

例如将矩阵分成 2x2 块：

A=\begin{bmatrix}A_{11}&A_{12}\\A_{21}&A_{22}\end{bmatrix}

其中每个 本身是子矩阵（尺寸匹配）。

# 分块乘法

若块尺寸匹配，则

\begin{bmatrix}A&B\\C&D\end{bmatrix} \begin{bmatrix}E&F\\G&H\end{bmatrix}= \begin{bmatrix}AE+BG&AF+BH\\CE+DG&CF+DH\end{bmatrix}。

# 分块消元与求逆（概念）

当 可逆时：

\begin{bmatrix}A_{11}&A_{12}\\A_{21}&A_{22}\end{bmatrix}

可通过 Schur 补 将问题化简。该技巧广泛用于求逆、线性方程组和数值计算。

# 注意事项

  • 子块的维度必须匹配运算。
  • 分块后可显著减少运算复杂度或提升推导清晰度。

# JS 表示

// 以二维数组表示分块矩阵
const A11 = [[1, 0],[0, 1]]
const A12 = [[2],[3]]
const A21 = [[4, 5]]
const A22 = [[6]]
// 组合成块矩阵只是概念表示，运算需自行实现块乘法/拼接

# 应用

  • 高斯消元的块形式。
  • 求逆、分解（LU/Cholesky）中的结构化推导。